BARISAN DAN
DERET
- BARISAN
DAN DERET ARITMATIKA
I.
TUJUAN
Setelah mempelajari topik siswa
dapat:
1. Menentukan
suku ke n suatu barisan aritmatika
2. Menetukan
rumus suku ke n dari barisan aritmatika
3. Menetukan
suku pertama dan beda suatu barisan aritmatika jika dua suku lain diketahui.
4. Menentukan
rata-rata dari deret aritmatika (mean aritmatik).
5. Menentukan
jumlah deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan suku terakhirnya.
6. Menentukan
banyaknya suku (n) dari deret aritmatika jika suku pertama, beda dan jumlah
deretnya diketahui.
II.
MATERI
1. Barisan
Aritmatika
Perhatikan barisan berikut.
1. 1,3,5,7,…
2. 2,6,10,40,30,…
3. 60,50,40,30,…
Barisan ini adalah contoh dari
barisan aritmatika U1, U2, U3, …..Un ialah barisan
aritmatika,jika:
U2 - U1 = U3-U1=…….= Un- Un-1= konstan
Konstan ini disebut beda dan
dinyatakan dengan b.
Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3
– 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….=
Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya
ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -10
a. Rumus
suku ke n.
Jika suku pertama n1 dinamakan a, kita
mendapatkan:
U2 - U1 = b U2 = U1 - b = a + b
U3- U2 = b U3 = U2 - b = (a + b) + b = a
+ 2b
U4 - U3 = b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a
+ 3b
dan seterusnya.
Ini memberikan barisan Aritmatika
A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a +
(n – 1) b
Rumus suku ke n adalah Un = a + (n – 1) b.
Carilah suku ke 40 dari barisan
aritmatika 1, 6, 11, 16, …
A = 1, b = 6 – 1, n = 40
Un = a + (n – 1) b
U40 = 1 (40 – 1) 5 = 196.
Contoh 2
Carilah suku pertama dan bedanya, jika diketahui suku kesepuluh 41 dan suku ketiga ialah 20.
Penyelesaian:
U10= a + ( 10 – 1) b U3 = a ( 3 – 1) b
= a + 9b = a + 2b
a = 9b = 41…….(1) a + 2b = 20 …….(2)
Sistem persamaannya:
a
+ 9b = 41
a
+ 2b = 20
7b = 21
b = 3
b = 3 substitusi ke persamaan
(1), didapat:
a + 9.(3) = 41
a = 14
adi suku pertama (a) = 14 dan
beda (b) = 3.
Contoh 3
Carilah rumus suku ke n dari
barisan:
2, 4, 6, 8,
………..
Penyelesaian:
Suku pertama (a) 2 dan beda (b) =
4 – 2 = 2
Suku ke n: Un = a + ( n – 1 ) b
Un = 2 + ( n – 1 ) 2
Un = 2 + 2n - 2
Un = 2n
b. Rata-rata
dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ).
Kadang-kadang kita harus mencari
mean aritmatika dua buah bilangan, P dan Q. Ini berarti kita harus menyisipkan
sebuah bilangan A diantara P dan Q, sedemikian rupa sehingga p + A + Q
membentuk sebuah deret aritmetika A – P = b dan Q – A = b.
Jadi A – P
= Q - A
2A
= P + Q
A =(P+Q)/2
Ternyata mean aritmetik dua
bilangan tidal lain dari pada nilai tengahnya.
Contoh 1
Hitunglah mean aritmetika dari 23 dan 58!
Jawab:
Mean aritmetika = 40,5
Jika kita diminta untuk
menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan yang diketahui, P
dan Q berarti kita harus menyisipkan 3 buah bilangan A, B, dan C diantara Pdan
Q sedemikian hingga P + A + B + C + Q merupakan deret aritmetik.
Contoh 2
Sisipkan tiga buah mean aritmetik
diantara dua buah bilangan 8 dan 18.
8 + A + B + C + 18
U1 = 8 dan U5= a + 4b = 18
a = 8
4b = 10
b
= 2.5
a + 4b = 18
A = a + b =8 + 2.5 = 10.5
B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13
C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5
Jadi mean aritmetik yang dicari
adalah 10,5 ; 13 dan 15,5.
2. DERET
ARITMETIK
Deret aritmetik disebut juga
deret hitung. Jumlah n suku pertama deret aritmetik ditulis
A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a +
(n – 1)b]
Dengan cara:
Misalkan suku terakhir Un, maka suku sebelumnya ialah Un - b, sebelumnya lagi Un - 2b dan seterusnya.
Sn = Un + (Un - b) +( Un + 2b) +…+ (a + 2b) +
(a + b) + a +
2 Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un) + (a +Un) + (a + Un)
2 Sn = n (a + Un)
Sn = 1/2 (a+Un), yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan terakhir
- BARISAN DAN DERET GEOMETRI
I.
TUJUAN
Setelah
mempelajari topik siswa dapat:
- Menentukan suku ke n suatu barisan geometri dengan
rumus.
- Menentukan rumus suku ke n dari barisan geometri
- Menentukan rasio jika dua suku dari barisan
geometri diketahui
- Menentukan rata-rata dari deret geometri (mean
geometric)
- Menentukan jumlah n suku yang pertama suatu deret
geometri.
- Menentukan banyaknya suku dari deret geometri,
jika suku pertama, rasio dan jumlah derenya diketahui.
- Menentukan jumlah deret geometri tak hingga.
- Barisan Geometri
Perhatikan
barisan: a. 1, 2, 4, 6, …….
b. 27, -9, 3, -1, …..
c. -1, 1, -1, 1, ……
adalah contoh-contoh barisan geometri.
U1, U2, U3, …..Un ialah suatu barisan geometri, jika
U2/U1= U3/U2 = … ….. = Un/Un-1
Konstanta ini dinamakan rasio, atau nisbah dan dinyatakan dengan r.
a. Rumus suku ke n.
Jika suku pertama U1 dinyatakan dengan a,
kita mendapatkan:
U2/U1 = r
Ini memberi barisan geometri
.png){kind=small}
Perhatikan bahwa suku ke n adalah Un =
.png){kind=small}
Tentukan suku ke 5 dari barisan geometri: 1, 2, 4, ………
Penyelesaian:
a = 1, r = 2/1 = 2.
Contoh 2
Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri 2,6, 18, …….
Penyelesaian
- Rata-rata dari suatu deret geometri (mean
geometri).
Mean geometric
dari dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian hingga P + A
+ Q membentuk suatu deret geometri.
Adi mean geometri dua buah bilangan adalah akar dari hasil dari
kalinya.
Contoh 1
Tentukan mean
geometric dua bilangan 4 dan 25
Untuk
menyisipkan tiga mean geometric diantara dua bilangan geometri P dan Q, kita
harus mencari tiga bilangan A, B, dan C sedemikian sehingga P + A + B + C + Q
membentuk suatu deret geometri.
Contoh 2
Sisipkan 4
buah mean geometric diantara 5 dan 1215.
Tentukan
keempat mean geometric tersebut.
Misalkan
keempat mean tersebut masing-masing A,
B, C, dan D. Maka 5, A, B, C, D, 1215 membentuk suatu deret geometric, yaitu: a
= 5 dan 
= 1215
- Deret Geometri
Tidak ada komentar:
Posting Komentar