EKSPONEN

 

a.     Definisi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : f : x → a^x atau y = f(x) = a^x

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

·       f(x) = a^x disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen baku atau fungsi eksponen standar

·       a disebut bilangan pokok atau basisbagi fungsi  f(x) =  a^x, dengan ketentuan: a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1)

·       peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas (independent variabel) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis: D_f = { x I x Є R }

·       peubah y dinamakan peubah bergantung atau variabel tak bebas (dependent variabel ) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis : Wf = { y I y > 0 dan y Є R }

b.     Sifat-sifat Eksponen

Jika a dan b adalah bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan:

•       a^x  x  a^y  = a^x+y

•       a^x  :  a^y  =  a^x-y , a≠0

•       (a : b)^x = a^x : b^x , b≠0

•       (a^x)^y = a^{x .y}

•       (a  x  b)^x  = a^x  x  b^x

•       (a^m  x  bⁿ)^x  = a^mx  x  b^nx

^•               a^-x = 1/a^x

^•               a⁰ = 1 , a≠0

^•                =  =

^•                =

Catatan:

•       a⁰ = 1 untuk setiap a Є R dan a≠ 0.

0⁰ = tak-tentu

•       0^x = 0 untuk setiap x bilangan real positif.

0^x = tak-terdefinisi untuk setiap x bilangan real negatif.

 

c.     Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaiannya.

·       Bentuk a^f(x)  = a^p

Jika a^f(x) = a^p (a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = p

·       Bentuk a^f(x) = 1

Jika a^f(x) = 1 (a > 0 dan a ≠  1), maka f(x) = 0

·       Bentuk a^f(x)  = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).

·       Bentuk a^f(x) = b^f(x)

Jika a^f(x)=b^f(x) (a >0 dan a≠1, b > 0 dan b ≠  1, dan a ≠  b ), maka f(x)=0

·       Bentuk {H(x)}^f(x) = {H(x)}^g(x)

Jika {h(x)}^f(x) = {h(x)}^g(x), maka kemungkinannya adalah

Ø  f(x) = g(x)

Ø  h(x) = 1

Ø  h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

Ø  h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau (x) dan g(x) keduanya genap.

·       Bentuk A{a^f(x)}²  + B{a^f(x)}  + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a^f(x)}²  + B{a^f(x)}  + C = 0 (a > 0 dan a ≠  1 ), A, B, dan C bilangan real dan A ≠ 0)dapat ditentukan dengan cara mengubah eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.

d.     Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat fungsi monoton naik (a>0)

Ø  Jika a^f(x)  a^g(x), maka f(x) g(x)

Ø  Jika a^f(x) ≤ a^g(x), maka f(x)≤g(x)

Sifat fungsi monoton turun (0<a <1)

Ø  Jika a^f(x) a^g(x), maka f(x) ≤ g(x)

Ø  Jika a^f(x) ≤ a^g(x), maka f(x) g(x)

e.     Grafik Fungsi Eksponen

a.     Basis a > 1 (monoton naik)

Sifa-sifat fungsi eksponen f : x → a^x dengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = a^x

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2^x (x  R)

Penyelesaian :

Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

x	→ -∞	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…	→ ∞
y	→   0	…				1	2	4	8	…	→ ∞

Maka akan dihasilkan grafik :

b.     Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Contoh :

Gambarlah grafik y = f(x) = ( )^x (x  R)

Penyelesaian :

Untuk pengerjaannya pilih beberapa nilai x sedemikian sehingga nilai y dengan mudah dapat ditentukan

x	→ -∞	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…	→ ∞
y	→   0	…				1				…	→ 0

Maka akan dihasilkan grafik :

f.      Penerapan Fungsi Eksponen

Salah satu peran eksponen adalah tentang model penghitungan bunga majemuk dan pertumbuhan biologis, pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan perusahaan yang dimulai dari awal hingga batas waktu tertentu.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1}.